** Étude d'une fonction (1)

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=\sin(x)\left(1+\cos(x)\right)\) .

1. Étudier la parité de la fonction \(f\) .

2. Montrer que la fonction \(f\)  est \(2\pi\) -périodique.

On étudie désormais la fonction  \(f\)  sur \([0~;~\pi]\) .

3. a. Montrer que, pour tout réel \(x\)  de l'intervalle \([0~;~\pi]\) , \(f'(x)=\left(\cos(x)+1\right)\left(2\cos(x)-1\right)\) .
     b. Étudier le signe de \(f'(x)\)  sur \([0~;~\pi]\) .
     c. Dresser le tableau complet des variations de \(f\)  sur \([0~;~\pi]\) .

4. a. Préciser \(f'(\pi)\) . Que peut-on en déduire graphiquement ?
    b. Représenter graphiquement la fonction \(f\)  sur \([0~;~\pi]\)  puis sur \([-\pi~;~0]\) .